Игорь Куницын родился 30 сентября 1981 года во Владивостоке. Занимается теннисом с семи лет, а первые матчи на профессиональном уровне провёл в 1999 году. За время выступлений Игорь выиграл восемь турниров серии «Челленджер», а в 2008 году стал победителем «Кубка Кремля», обыграв в финале Марата Сафина. Этот титул остаётся для Куницына единственным, завоёванным на соревнованиях ATP в одиночном разряде.
Лучшим достижением Куницына на турнирах «Большого шлема» стал выход в третий раунд US Open в сезоне-2011. 6 июля 2009 года россиянин поднялся на самую высокую в своей карьере, 35-ю строчку рейтинга АТР.
В парном разряде Куницын вместе с Дмитрием Турсуновым побеждал на «Кубке Кремля» в 2010 году. Также в его активе ещё три финала на турнирах АТР. В 2008 году в паре с Турсуновым Куницын доходил до полуфинала Открытого чемпионата Франции.
За время выступлений в Туре Игорь заработал $2,861,069 призовых.
После завершения карьеры осенью 2013 года Куницын сосредоточился на работе в Федерации тенниса России.